Все возможные комбинации в лотерее “Русское лото”

После завершения Новогоднего розыгрыша “Русского лото” в интернете появились массовые доказательства обличающие организаторов. Правда, большая часть сенсационных выводов основывалась на том, что миллиард выпал на несуществующий билет.

Почему возникли такие подозрения? Исходя из модели расстановки чисел в билетах, на каждом игровом поле, в каждом вертикальном ряду, обычно расположено от 1 до 3 номера из каждого десятка. Примерно так:

Для примера: два билета сгенерированных на сайте Столото

По правилам, указанным на билете, джекпот выигрывают если на 15 ходу все 15 чисел одного из двух игровых полей (верхнего или нижнего) совпадут с номерами бочонков, извлеченных из мешка. Правда, правила новогоднего розыгрыша чуть отличались от обычных.

Некоторые из игроков решили выяснить, как выглядит билет, выигравший миллиард, и распределили первые 30 номеров (после объявления которых и сорвали джекпот) на два игровых поля. Понятно, что получившийся билет отличался от реальных, что и сподвигло кого-то (не вникнув в правила и не подумав) заявить о наглых махинациях организатора. Это же неслыханно – миллиард выпал на билет, существование которого невозможно!

Один из примеров ошибочной расстановки чисел

Между тем, несмотря на явную ошибочность подхода, прошедший новогодний розыгрыш – отличный способ разобраться в шансах, по которым предлагается сорвать джекпот.

Все комбинации в “Русском лото”

Какими исходными данными мы располагаем?

• если на 15 ходу все 15 чисел совпадает с номерами вытащенными из мешка, значит билет сорвал джекпот
• В новогоднем розыгрыше суперприз был разыгран во 2-м туре (игра шла до тех пор, пока у кого-нибудь не закроется 15 номеров), что и произошло на 30-м ходу
• В билете выигравшем миллиард, в одном из полей должны быть 15 номеров (из 30, вытащенных к тому времени!), а во втором поле – любые другие номера.

Много ли могло быть билетов, где в одном поле совпали 15 номеров из 30? Для примера приведем несколько комбинаций, составленных из этих чисел, распределенных в одном поле.

6 вариантов того, как могли распределиться 15 номеров из 30

На рисунке выше – шесть вариантов распределения по заданным параметрам (15 из 30  выпавших номеров, расположенных в одном игровом поле билета). Что касается второго игрового поля, то в нем могли быть любые номера, как уже выпавшие (но не попавшие в первое поле) так и не выпавшие. Главный смысл в том, что вариантов (15 из 30) много.

Даже очень много! Если посчитать, сколько всего может быть вариантов распределения 15 номеров из 30, то мы получим не десятки и не сотни, а миллионы и даже сотни миллионов возможных комбинаций!

Если рассчитать их количество по формуле, то получим почти триста миллионов (!) или 295 232 118, если быть точным, уникальных комбинаций, которые можно составить, комбинируя 15 номеров из имеющихся 30.

О чем это говорит?

• на 30-м ходу существует 295 232 118 уникальных комбинаций (15 номеров из 30) совпадение одного из игровых полей существующего билета с такой комбинацией даст выигрыш
• так как в каждом билете два игровых поля, то можно сказать, что шанс выигрыша на 30-м ходу составляет 1:147 616 059 (295 232 118 / 2)
• Если бы все эти 295 млн комбинаций были бы напечатаны в виде билетов, то на 30-м ходу произошло бы одно (!) совпадение.
• С учетом того, что напечатанных билетов было всего (!) 53 млн, – налицо удачное стечение обстоятельств, ведь выигрыш мог сложиться и в следующих ходах
• Чем больше в игре прошло ходов, тем вероятнее совпадение одной из комбинаций с одним из билетов.

Как это соотносится с ходом розыгрыша?

• В тираже участвовало 53 млн билетов
• на 29-м ходу шанс выигрыша был 1:295 232 118, на 30-м он стал 1:147 616 059, а на 31-м был бы 1:76 188 934 (чем больше ходов, тем ближе выигрыш)
• Когда число играющих комбинаций приближается к числу участвующих билетов, то в одном из них нужные значения совпадают. Чем позже это происходит, тем больше окажется выигравших

На самом деле эти расчеты не дают однозначный ответ – на каком ходу и сколько билетов выиграет джекпот. Но, они помогут понять суть данной игры и то, какое количество комбинаций в ней существует.

Если организаторы объявляют, что суперприз можно сорвать на 15 ходу (заполнив 15 номеров из 15 выпавших) то в билете должна совпасть одна из 45 795 673 964 460 800 (45,8 квадриллионов) комбинаций, так как именно столько их можно составить из этих чисел.

Но, даже этой самой комбинации (появляющейся в каждом тираже на 15-м ходу) недостаточно, нужен еще и билет где она напечатана. Если учесть, что в обычных тиражах участвует по 2-3 млн билетов, то шанс того, что нужный набор чисел окажется хотя бы напечатан, составляет всего 0,000000004% – 0,000000007%.

В общем, когда действует условие 15 номеров из 15 за 15 ходов, то выиграть джекпот нереально. Именно поэтому такого никогда не было и не будет. Все предыдущие джекпоты “Русское лото” сорваны либо по старым правилам, либо разыграны принудительно (во втором туре) так, как это произошло в последнем и предпоследнем новогоднем розыгрыше.

Именно поэтому не стоит вестись на объявления об очередном рекордном джекпоте. Его просто нельзя выиграть. Организатором даже нет необходимости что-то придумывать, нагревая или остужая бочонки, вставляя в них вибро-моторчики или пришивая потайной карман в мешок Михаила Борисова (способы, которые часто упоминаются в интернете). На стороне устроителей лотереи простая математика и она надежно ограждает джекпот от каких-либо шансов на выигрыш.